Biografi Leonardo Pisano Bigollo Alias Fibonacci (1170-1240 M)

“Kekuatan terbesar dalam perhitungan modern terdapat pada tiga inovasi: notasi [bilangan] Arab, jikangan berbasis sepuluh dan logaritma”

(The miracuolus powers of modern calculation are due to three inventions:the Arabic Notation, Decimal Fractions, and Logarithms)

Florian Cajori

Riwayat

Signifikansi perkembangan matematika pada periode pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak ndeso, tapi dia bukan orang terbelakang lantaran jabatannya yaitu seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian.

Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun ia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci sehabis terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, spesialis matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem jikangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang mustahil dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia menetapkan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat ia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Mengarang buku

Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan memakai – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan memakai numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi pengaruh besar lantaran muncul dunia gres dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.

Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, kepingan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini yaitu pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada ketika itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak mahir dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan dilema aljabar dan persamaan kuadrat.

Problem kelinci

Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh jago-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak usang kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku ihwal Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang sanggup mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu perihal dilema kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diharapkan kejelian berpikir.

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

ª Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.

ª Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.

ª Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.

ª Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak gres dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.

Akan diperoleh tanggapan: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 54.224.848.179.261.915.075.

Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang lalu dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Deret Fibonacci

Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat yaitu Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara mencar ilmu sendiri. Menemukan deret jikalaungan yang diberi nama seperti namanya.

Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …

Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua kalaungan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, yaitu hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, ialah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas sanggup menjawab persoalan kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini mampu diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.

Kaitan dengan nisbah emas

Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya beliautur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.

Perhatikan hasil pembagian jikangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.

1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; 144/89…

Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian memperlihatkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini menyerupai dengan nisbah emas. Memang ada relasi erat antara seksi emas dan nisbah emas seolah-olah dapat dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.

Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,618

Barangkali kenyataan ini sanggup menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas.

Ambil teladan dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) lalu diperbandingkan

b/a ≈ (a+b)/b

b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)

Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk persamaan di atas.

Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil: Φ² – Φ – 1 = 0

Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618

Revolusi Fibonacci

Topik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan potongan – biasa, bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan kalaungan berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan jikangan penggalan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 115/6, sebagai acuan, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½.

Masih belum jelas, terlebih notasi:

1 6 2

2 9 10 yang berarti:

1 + 6 + 2

2.9.10 9.10 10

Barangkali sangatlah mengherankan, pedagang jaman kuno sudah mampu mengoperasikan sistem jikalaungan sebegitu rumitnya. Penulisan serpihan di atas iadopsi dari sistem bilangan Byzantium.

Jangan salah mengartikan dengan Nautilus yang menjadi nama kapal selam pada buku karangan Jules Verne “20.000 Leagues Under the Sea”

Sumbangsih

Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat ialah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan wacana pola alam seakan-akan yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melaksanakan perhitungan di Eropa – mengubah sistem jikangan Romawi yang tidak efisien – dengan sistem jikangan Hindu-Arabik ini kelak sangat mensugesti perkembangan matematika di benua Eropa. Sistim bilangan potongan Fibonacci yang rumit, lalu disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street memakai sistem pecahan.